Определение стоимости опциона “колл” до даты закрытия
By admin • Фев 5th, 2010 • Category: Колл-опционыПредставьте, что вы намерены купить опцион “колл” на обыкновенную акцию с ценой исполнения 50 долл. Попробуем определить факторы, которые нужно учитывать при оценке этого опциона. Если речь идет о дате закрытия, то эта задача, как мы уже видели, тривиальна. Определение стоимости опциона до даты закрытия является более сложной задачей.
Важным фактором в этом определении является текущий курс акции. Логичнее всего попытаться представить цену опциона как функцию рыночного курса. А теперь попытаемся определить границы цен на опционы.
Нижняя граница: стоимость опциона “колл” не может быть меньше, чем доход при немедленном его исполнении. График на рис. 10-1 можно истолковать как зависимость Дохода при немедленном исполнении опциона от курса акции. В нашем примере доход Равен нулю при курсе меньше 50 долл. и равен разнице между рыночным курсом акции и 50 долл. Пусть текущий курс акции равен 60 долл., а вам предлагают опцион “колл” за 8 долл. Это явно выгодное предложение, так как опцион можно немедленно исполнить и перепродать акцию с прибылью в 2 долл. Естественно, что на рынке такого не бывает, так как все умеют считать деньги, и цена опциона всегда такова, что немедленное получение прибыли невозможно.
Верхняя граница: цена опциона “колл” не может превосходить рыночный курс акции. Представьте, что вам по одной цене предлагают на выбор:
Если рыночный курс акции равен нулю, то цена опциона также равна нулю, что и происходит в точке А. Этот крайний случай возможен только для совсем “безнадежных” акций, потому что во всяком ином случае найдется инвестор, готовый заплатить за них хотя бы очень малую цену. В этой ситуации опцион “колл” никогда не будет исполнен, а значит, он не имеет стоимости.
При прочих равных условиях с ростом курса акций увеличивается и цена опциона (линии АВ и CD). Опцион “колл” с ценой исполнения 50 долл. будет стоить больше при рыночном курсе акции 40, чем при курсе 35 долл. Вероятность того, что рыночный курс в конце концов превысит цену исполнения, выше в первом случае, чем во втором. А значит, выше вероятность получения прибыли от этого опциона. Если курс акции выше цены опциона, то рост первого на 1 долл. ведет почти к такому же росту второй (что показывает наклон линии в точке F). Предположим, что рыночный курс акции настолько сильно превосходит цену исполнения опциона колл”, что практически невероятно, чтобы она к дате закрытия упала ниже уровня исполнения. Тогда любое изменение курса акций вызовет равное по величине изменение ожидаемой от опциона прибыли. Ведь очевидно, что опцион будет исполнен. Дело в том, что если заведомо ясно, что опцион будет обменен на акции, то владение им равносильно владению акцией. Владелец опциона уже купил акцию, но еще не оплатил покупку. Осталось только в день закрытия внести сумму, Равную цене исполнения. Отсюда следует, что стоимость опциона равна рыночному курсу акции за вычетом текущей цены исполнения опциона.
Поскольку стоимость денег связана со временем отсрочки платежа, в этом случае стоимость опциона будет выше, чем разница (Р—Е). 4. По мере увеличения курса акции рост цены опциона “колл “ускоряется, что отражает кривая AFG. Отрезок кривой AF показывает, что вначале цена опциона растет медленнее, чем курс акции. На отрезке FEmm опциона растет быстрее, чем курс акции. Теоретически это невозможно, так как в конце концов цена опциона должна стать больше курса акции. Сопоставив все сказанное в п. 1-4 и выразив результат графически, мы получим типичную кривую зависимости стоимости опциона от курса акции, изображенную на рис. 10-Начинаясь в точке А, где обе величины равны нулю, кривая показывает рост иены опциона, сопровождающий рост курса акции. Наконец, кривая становится почти параллельной двум линиям, обозначающим возможные границы изменения цены опциона.
Кривая на рис. 10-3 показывает связь между ценой опциона “колл” и рыночным курсом акций, когда все остальные факторы, влияющие на цену опциона, остаются постоянными. Давайте посмотрим, что это такое – все прочие факторы, и попробуем оценить их воздействие на цену опциона.
Мы рассмотрим пять факторов, воздействующих на цену опциона “колл”: 1. Рыночный курс акций. На рис. 10-3 изображен график зависимости между опциона “колл” и рыночным курсом акций. При прочих равных условиях чем выше рыночный курс акций, тем выше стоимость опциона на эту акцию. Как уже отмечалось, с ростом курса акций наклон кривой, отображающей рост цены опциона, растет, пока кривая не делается практически параллельной линии, отображающей рост курса акции.
2. Цена исполнения. Выбирая между двумя опционами “колл” на одни и те же акции, вы, конечно, выберете тот, у которого ниже цена исполнения. При любом благоприятном движении курса акции опцион с меньшей ценой исполнения принесет больший доход. Значит, можно заключить, что чем меньше цена исполнения, тем выше стоимость опциона.
3. Безрисковая ставка процента. В случае исполнения опциона “колл” его владелец получает некоторую выгоду от роста рыночного курса акции. Но эту выгоду он получит и в том случае, если не станет немедленно выплачивать иену исполнения. Этот платеж нужно внести в будущем, когда опцион будет исполнен. А до
, этого деньги могут быть вложены в государственные ценные бумаги, которые принесут доход без всякого риска. Такая возможность увеличивает стоимость опциона “колл”. Таким образом, чем выше безрисковая ставка процента, тем больше дополнительный доход и тем ниже текущее значение цены исполнения. Следовательно, можно рассчитывать на то, что при прочих равных условиях чем выше безрисковая ставка процента, тем больше стоимость опциона “колл”. Более того, чем дольше во времени отстоит срок исполнения опциона, тем больше доход по безрисковой ставке. Значит, можно предполагать, что безрисковая ставка процента определяет стоимость опциона “колл” в зависимости от времени, оставшегося до
даты закрытия.
Изменчивость курсов акций. Допустим, вы выбираете между двумя опционами “колл”, причем цена исполнения каждого равна 50 долл. В табл. 10-2 дана вероятность существования различных будущих рыночных курсов на дату закрытия по обеим акциям. В каждом случае значения среднего (ожидаемого) будущего курса одинаковы. Но для второй акции вероятность существенного отклонения будущего курса от среднего значения заметно больше, чем для первой. Курсы таких
, акций называют относительно более изменчивыми. Теперь мы покажем, что ожидаемый доход на дату закрытия выше для опциона “колл” на менее стабильные акции. Для более стабильных акций опцион не будет исполнен при курсе ниже
50 долл., хотя при этом для трех высших значений курса он принесет доход 2, 7 и 12 долл. Отсюда находим:
Ожидаемый доход от более стабильных акций = = 0 х 0,10 + 0 х 0,20 + 2 х 0,40 + 7 х 0,20 + 12 х 0,10 = 3,40 долл.
Точно так же определяется доход от опциона “колл” по менее стабильным акциям:
Ожидаемый доход от менее стабильных акций = , = 0 х 0,15 + 0 х 0,20 + 2 х 0,30 + 12 х 0,20 + 22 х 0,15 = 6,30 долл.
Мы обнаружили, что хотя ожидаемый будущий курс обеих акций одинаков, ожидаемая доходность выше у менее стабильных акций. Этот вывод имеет довольно общий характер. Он, например, не зависит от того, насколько велика разница между ценой исполнения и будущим рыночным курсом акций. Каждый может убедиться в том, что если установить иену исполнения в 55 долл., результаты будут такими же. Можно сделать вывод, что при прочих равных условиях чем менее стабильны акции, тем выше стоимость опциона “колл” по этим акциям.
Мерой стабильности курсов акций может быть дисперсия (variance) их ежедневных изменений. На рис. 10-4 проиллюстрировано наше утверждение о влиянии нестабильности курсов на стоимость опциона “колл”. Изображены графики для трех акций. Форма кривых та же, что и на рис. 10- 3. Но при любом значении рыночного курса акций чем выше дисперсия ежедневных курсов, тем больше стоимость опциона “колл”.
Идея изменчивости курсов акций соотносится с длительностью учитываемого временного горизонта. А именно, если дисперсия ежедневных изменений курсов равна о2, тогда дисперсия изменений за / дней составит о2/ (если изменения курсов случайны). Следовательно, чем дальше отстоит от настоящего момента дата закрытия, тем больше изменчивость движения курсов. Отсюда следует, что для европейского опциона, который может быть исполнен только в день закрытия, адекватной мерой изменчивости будет аЧ, где t — число дней до даты закрытия. Чем больше эта величина, тем выше стоимость опциона “колл”. 5. Время до даты закрытия. В пп. 3 и 4 мы показали две причины того, что стоимость опциона “колл” при прочих равных условиях тем выше, чем дальше во времени отстоит срок закрытия. Поскольку чем больше времени до закрытия контракта, во-первых, тем больший доход можно получить безо всякого риска, а, во-вторых, тем больше возможная изменчивость курсов акций. Оба соображения приводят нас к одному выводу: со временем стоимость опциона “колл” растет.
Определение стоимости опционов
Пять факторов влияют на стоимость опционов “колл”. Взаимосвязь этих факторов довольно сложна. Мы рассмотрим формулу, которая при некоторых предпосылках определяет стоимость опционов “колл” как функцию этих пяти факторов. Но перед этим мы проанализируем более простую ситуацию, в которой оценка опционов совершается прямым способом. Это полезно для понимания того, как стоимость опциона зависит от безрисковой ставки процента.
Мы хотим здесь показать, что при определенных условиях инвестор может гарантировать определенный доход, если будет пользоваться комбинированной стратегией держать акции и открывать на них опционы, хотя в этом случае и сохраняется некоторая неопределенность относительно будущих курсов акций. Главное упрощающее условие требует, чтобы существовали только два возможных значения будущего курса акций. Кроме того, из соображений удобства мы будем оперировать европейским опционом о сроком закрытия через один год. Далее мы предположим, что по акциям не выплачиваются дивиденды и операционные издержки равны нулю.
Памятуя об этих условиях, обратимся к данным табл. 10-3. Инвестор может купить на них европейские опционы “колл” с ценой приведенной стоимости будущих потоков денежных средств, что типично для финансовой науки. Модель приравнивает стоимость опциона к приведенной ожидаемой величине курса акций за вычетом текущей оценки издержек на исполнение опциона. Для наших целей важнее то, как модель соотносит стоимость опциона с пятью факторами, о которых мы говорили выше. Эти взаимоотношения таковы:
1. Чем выше текущий рыночный курс акций, тем при прочих равных условиях выше цена опционов “колл”.
2. Чем выше цена исполнения, тем при прочих равных условиях ниже цена опциона.
3. Чем выше безрисковая ставка процента, тем при прочих равных условиях выше цена опциона.
4. Чем больше срок до даты закрытия, тем при прочих равных условиях выше иена опциона.
5. Чем менее стабилен курс акций (измеряемый дисперсией с2), тем при прочих равных условиях выше цена опциона.
Согласно этой модели, цена опциона зависит от дисперсии доходности, но не зависит от ожидаемого показателя доходности акций. Причина заключается в том, что изменение ожидаемого показателя доходности влияет на курс акций, а не на относительную стоимость опциона и акций. Припомните, что когда мы формировали хеджированный портфель, то не обращали внимания на ожидаемую доходность. Изменение двух значений вероятности того или иного курса акций в табл. 10-2 не изменяет цены опциона “колл”.
Следующий пример иллюстрирует вычисление стоимости опциона по формуле опционного ценообразования модели Блека—Шоулза.